摘要：立体几何中，割补法在求面积和体积类的问题中有着广泛的应用.在解题过程中若能巧妙地对几何体实施“割”或“补”，就能变整体为局部、化不规则为规则，有利于找到解决问题的突破口，快速解决问题.本文中结合实例给出了五种解题技巧，即补“台”为“锥”巧求值，切割补形巧证明，补“柱”为“体”巧代换，补“形”转化求距离，补“锥”为“柱”求体积.
关键词：割补法；解题技巧
“割”，就是把不规则的几何图形分割成几个规则的图形，“补”就是把不规则的几何图形补充成一个规则的图形，再按照规则图形的计算公式求面积或体积.割补法是立体几何中一种非常实用的解题思路与方法，该方法有助于弥补学生空间想象力不足的缺陷，能够将抽象、陌生的立体几何问题转化为直观、熟悉的几何问题，帮助学生发现已知几何体与未知几何体之间的内在联系，从而快速找到解题思路与方法.本文中结合典型实例探究了高中立体几何学习中割补法的具体应用技巧，供同学们参考.
1 补“台”为“锥”巧求值
例1（2024年新课标Ⅱ卷第7题）已知正三棱台ABCA1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，求A1A与平面ABC所成角的正切值.
解析：将正三棱台ABCA1B1C1补成正三棱锥PABC，如图1，则A1A与平面ABC所成角就是PA与平面ABC所成的角.
因为PA1PA=A1B1AB=13，所以VPA1B1C1VPABC=127，则VABCA1B1C1=2627VPABC=523.故VPABC=18.
设正三棱锥PABC的高为d，则VPABC=13d×12×6×6×32=18，解得d=23.
设底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=23.所以PA与平面ABC所成角的正切值tan∠PAO=POAO=1即为所求.
思路与技巧：本题采用了补棱台为棱锥的方法，将正三棱台ABCA1B1C1补成正三棱锥PABC，A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，根据比例关系可得VPABC=18，可求出正三棱锥PABC的高，进而可得结果.
2 切割补形巧证明
例2三棱锥PABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线段ED=h，求证：三棱锥PABC的体积V=16l2h.图2
证法1：如图2，连接AD，PD.
因为BC⊥PA，BC⊥ED，PA∩ED=E，所以BC⊥平面PAD.
又ED⊥PA，则S△PAD=12PA5ED=12lh，所以VBADP=13S△PAD5BD，VCADP=13S△PAD5DC.
故V=VBADP+VCADP=13S△PAD5（BD+DC）=16lh5BC=16l2h.
证法2：如图3，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCF，得四棱锥PABCF，显然有
Vp-ABC=VPACF=VC-PAF，
BC=AF=l.
因为BC∥AF，PA⊥BC，所以PA⊥AF，则S△PAF=12PA5AF=12l2.
易证BC∥平面PAF，又ED⊥PA，ED⊥AF，所以ED即为BC到平面PAF的距离，也即点C到平面PAF的距离是h.
故V=VC-PAF=13S△PAF5h=16l2h.
思路与技巧：本题的证法1采用了切割法，把已知三棱锥分为两个小三棱锥，并适当选择底面，是为了让条件能直接为证明所用；证法2则巧妙地运用了补形技巧，补形后，使异面垂直关系转化为共面垂直关系，将公垂线段长转化为三棱锥的高，从而保证了证明的顺利进行.
3 补“柱”为“体”巧代换
例3已知斜三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB1A1⊥底面ABC.
（1）求证：B1C⊥AC1；
（2）求三棱锥B1ABC1的体积.
（1）证明：将三棱柱ABCA1B1C1补成为四棱柱ADBCA1D1B1C1.如图4，连接B1D，则B1D∥C1A，则B1D与B1C所成的不大于90°的正角即为异面直线B1C与AC1所成的角.连接CD，作B1O⊥AB于点O.又平面ABB1A1⊥底面ABC，平面ABB1A1∩底面ABC=AB，所以B1O⊥平面ABC，则∠OBB1为侧棱B1B与底面ABC所成的角，所以∠OBB1=60°.而BB1=2，则B1O=3，且BO=1，所以O为平行四边形ADBC的对角线交点，易知△B1OC≌△B1OD.
又BC=AC=AD=DB=2，∠DBC=120°，则CO=3，所以∠DB1C=2∠DB1O=2arctanODB1O=2arctanCOB1O=2arctan 1=90°.
所以B1D⊥B1C，则B1C⊥AC1.
（2）解：由CC1∥BB1，易知CC1∥平面ABB1.
故VB1ABC=VC1ABB1=VCABB1=VB1ABC=12VB1ADBC=1213S平行四边形ADBC5B1O=1125AB5CD5B1O=1.
思路与技巧：本题通过补三棱柱为平行六面体，起到了平移AC1至DB1处的作用；割平行六面体为四棱锥B1ADBC是为了作等积代换，便于间接求解三棱锥B1ABC1的体积.
4 补“形”转化求距离
例4三棱锥PABC的底面是Rt△ABC，斜边AB=10，侧面PAB和PAC垂直于底面，它们的二面角是30°，侧面PBC和底面成60°角，求三棱锥相对棱AC和PB间的距离.
解析：如图5，把Rt△ACB补成矩形ACBD，连接PD.由AC∥BD，易得AC∥平面PBD，则AC和PB间的距离即为AC和平面PBD的距离，也即点A到平面PBD的距离.
因为BD⊥AD，又易证得BD⊥PA，所以BD⊥平面PAD.
作AE⊥PD于点E，则AE⊥平面PBD.
在Rt△PAD中，AE=PA5ADPD.
而BC⊥AC，PA⊥平面ABC，由三垂线定理可知BC⊥PC，所以∠PCA即为平面PBC与底面所成的角.
又PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC即为二面角BPAC的平面角.
所以∠PCA=60°，∠BAC=30°.在Rt△ACB中，AB=10，则BC=5，AC=53.在Rt△PAC中，PA=15.又PD=152+52=510，所以AE=15×5510=3210，即AC和PB间的距离是3210.
思路与技巧：本题是巧妙地把求异面直线间的距离问题，转化为线面间或点面间的距离来解决，其中“补形”技巧的优越性主要体现在为作出这段垂线段提供了“立足”之点.
5 补“锥”为“柱”求体积
例5（2024年天津卷第9题）一个五面体ABCDEF（如图6）.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，并已知AD=1，BE=2，CF=3.求该五面体的体积.
解析：如图7，用一个完全相同的五面体HIJNML（顶点与五面体ABCDEF一一对应）与该五面体相嵌（互补），使得D与N，E与M，F与L重合.
这样，就把原来一个不规则的锥形五面体“补”（组合）成了一个新的斜三棱柱.易知AH∥BI∥CJ，且两两之间的距离为1，所以该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）是边长为1的等边三角形，且侧棱长为1+3=2+2=3+1=4.
所以该五面体的体积为VABCDEF=12VABCHIJ=12×12×1×1×32×4=32.
思路与技巧：本题中如果直接求不规则五面体的体积，似乎有点麻烦；但如果采用互补的方法，将其组合成一个斜三棱柱，求出这个三棱柱的体积，进而求出不规则五面体的体积，这样就简便得多.
综上所述，割补法充分体现了“化归与转化思想”，通过把多面体切割成锥体，把不规则的几何体割补成规则的几何体，把一个复杂图形的长度、角度、面积或体积等计算问题分割成若干个简单图形的计算，凸显了“化抽象为具体，化整体为局部、化繁琐为简易”的巨大优越性.希望同学们能够从上述实例的五种解题技巧中得到启发，多加练习，举一反三，不断提高数学解题能力.